Salón CIAP-916

Mar & Vier, 8:30-10:00am

Prof. Armando Céspedes: acespede@itesm.mx

alex-esc.github.io/mate-fisica

Unidades de S.I

El Sistema Internacional de Unidades o S.I. por sus siglas en francés (Système international [d’unités]) reconoce las siguientes unidades básicas:

Cada unidad tiene diferentes prefijos para hacer referencia a la cantidad, útil para conversiones:

Conversión de unidades

La manera mas sencilla de hacer convenciones es usando la regla de tres:

 1In  -->  2.54cm
58In  -->  xcm

Despejando para \(x\), multiplica el numero al lado de tu variable por el numero superior a \(x\) y luego divide entre el numero restante:

Para generalizar un poco mas la regla de tres hay que tomar en cuenta lo siguiente:

Plantea la regla de tres como una pregunta: Si hay 1,000 centímetros por metro ¿cuantos centímetros habrá en 5 metros?, los 1,000 cm van en \(A\), 1 m en \(B\) y 5m en \(C\) acomodados de esta forma:

A    B
x    C

Siempre se tienen que acomodar las mismas unidades del mismo lado, por ejemplo si \(A\) son centímetros, entonces \(X\) deben ser centímetros también. Para resolver la incógnita hay que multiplicar los números \(C\) y \(A\), luego dividir entre \(B\). siempre se multiplican el numero al lado de la variable por el numero arriba de la variable, luego se divide por el numero restante.

\[ X=\frac{C*A}{B} \]

Ejemplos

Ejemplo 1

Pregunta: ¿Cuantos radianes hay en 550°?

Si en \(2\pi rad\) hay 360°¿ cuantos radianes habrá en 550°?

2(pi) rad   360 grados
x rad       550 grados

Ejemplo 2

Pregunta: ¿Cuantas pulgadas hay en 30 centímetros?

Si en una pulgada hay aproximadamente 2.54 centímetros ¿cuantas pulgadas habrá en 30 centímetros?

1 pulgada      2.54 cm
x pulgada(s)   30 cm

Análisis dimensional

Para revisar si una operación es valida en la física se tiene que analizar si tiene sentido en cuestión a las dimensiones. De la misma manera que no es posible sumar peras con manzanas, no se puede obtener un resultado correcto de operar con valores distintos. Cada unidad tiene su dimensión, en el caso de las anteriores mencionadas:

Algunas formulas básicas con sus dimensiones:

Para hacer un análisis dimensional de una operación o ecuación hay que transformar todas las unidades en dimensiones, si los dos lados de una operación resultan tener las mismas dimensiones eso quiere decir que la ecuación es correcta, de otra manera es incorrecta.

Primero hay que aprender a identificar las dimensiones, un valor puede tener o no tener dimensiones, en otras palabras un valor puede ser dimensional o a-dimensional respectivamente. Los valores dimensionales son los que están acompañados de una unidad, mientras que los adimensionales no tienen ninguna unidad, los números adimensionales también incluyen la trigonometría, los logaritmos y los exponenciales ya que estos representan números por si solos sin ninguna unidad.

La razón porque los resultados de trigonometría son adimensionales es por que las unidades se cancelan y el resultado es un numero sin unidades:

Como los números que no tienen ninguna unidad son adimensionales se incluyen los logaritmos y exponenciales por que representan números simplemente. Abajo un pequeño resumen para identificar valores dimensionales y adimensionales:

Dimensionales: Todo lo que tenga unidad, como metros, centímetros, segundos, horas, pulgadas etc…

Adimensionales: Todo lo que no tenga unidad, como los números por si solos, los resultados de trigonometría, logaritmos y exponenciales.

Una ves que puedes distinguir los números que poseen dimensión de lo que no, es cuando podemos empezar el análisis dimensional. Recuerda que el propósito es verificar que estemos sumando, multiplicando o dividiendo manzanas con manzanas, para verificar el lado izquierdo de una ecuación primero debemos analizar el lado derecho y compararlo con el izquierdo, por ejemplo:

\[ V_f=V_0 + at \]

Primero transformamos las unidades a sus dimensiones, recuerda que como los números son adimensionales, podemos simplemente ignorarlos en análisis dimensional. Como esta ecuación no tiene números continuamos.

Como \(V_f\) representa velocidad final y \(V_0\) velocidad inicial podemos cambiarlos por la formula general de velocidad, como estamos trabajando con dimensiones usaremos Longitud \(/\) Tiempo en lugar de metros \(/\) segundos.

También sabemos que \(a\) significa aceleración entonces lo transformaremos a Longitud \(/\) Tiempo\(^2\).

Finalmente cambiamos \(t\) por tiempo y nos quedaría:

\[ \frac{[L]}{[T]} = \frac{[L]}{[T]} + \left(\frac{[L]}{[T^2]}\right) ([T]) \]

Solo tenemos que despejar para darnos cuenta que la ecuación se trata de una suma de dos velocidades:

Como las dimensiones son iguales de ambos lados significa que esta operación es dimensional-mente correcta, por que sumar velocidades solo te puede dar otra velocidad. Recuerda que todo lo adimensional en una ecuación debe ser ignorado, si nuestra operación fuera \(V_f=V_0 + at + 5000 + log_2 1024\) el numero 500 y el logaritmo serian ignorados.

Ejemplos

Ejemplo 1

Pregunta: Haz un análisis dimensional de la segunda lay de Newton.

\[ F = ma \]

Como sabemos que \(m\) se refiere a masa de un objeto y \(a\) se refiere a la aceleración del objeto podemos concluir que:

\[ [F] = [M]\frac{[L]}{[T^2]} \]

Ejemplo 2

Pregunta: Encuentra las dimensiones de \(A\) , \(B\) y \(C\) de la siguiente ecuación:

\[ Ax Sin(Bx) = \frac{2}{3}V * exp(Ct^2) \]

Como esto es análisis dimensional tenemos que transformar todo a dimensiones.

Para continuar vamos a ignorar los valores adimensionales como los números:

Entonces \(A\) es \(\frac{i}{T}\), \(B\) es \(\frac{1}{L}\) y \(C\) es \(\frac{1}{[t^2]}\).

Función - funciones

Es una relación matemática entre 2 conjuntos o valores, su característica principal es que solo puede haber un valor en un mismo tiempo.

input (variable independiente) -> Función -> output (variable dependiente)

Se le conoce como dominio como los valores en \(X\) y rango los valores en \(Y\).

         (y)
         
          R
          a
          n
          g
          o
          |
Dominio --+-- Dominio (x)
          |
          R
          a
          n
          g
          o

Funciones lineales

\[ y = mx + b \]

Es la formula de una recta, donde \(m\) es la pendiente o inclinación y \(b\) es el punto de intersección con el plano \(y\). Para averiguar los valores de una función, asigna valores a la variable.

Ejemplo simple

\[ y = 2x + 5 \]

Integrales y derivadas

La derivadas son una relación de diferencia de cambio de una curva.

\[ pendiente = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Las integrales son la reversa de integrales, una buena forma de visualizar integrales es pensando en el área debajo de la curva.

Formulas de derivadas

basica:

\[ x^n = nx^{n-1} \]

Casos comunes:

funciones trigonométricas:

Formula de integrales

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]